涼感?”対数螺旋”

≪1≫ 熱き日々の連続ですが、本日は「対数螺旋」で涼んでみようとのココロミです。ただし通常、対数螺旋といいますと正式用語ではr=e^θという指数関数っぽいのを指すのですが、本日はr=ln θ という対数そのもの風なのを題材にいたしましょう。

 

≪2≫ 恒例により全体像から。(0< θ <2π)xy平面でのy=lnxを思い起こしながら鑑賞頂ければ、一層たのしいかもしれません。

  

θ(>0)が小さいときはx軸にびったり、θ=1では原点を通過。そこからはじっくり∞にうずまいていく、、、。

 

≪3≫ これも数番煎じっぽいですが、目視と表計算でもって東西南北点と変曲点、それと図に見える自己交差点などを求めて涼んでみました。表とグラフで。

  

 

≪4≫ 登場する小数らは、いつもは#:簡単には(たぶん)表せない(岩波公式からの流用)がほとんどですが、今回のB点(最初の自己交差点)だけはあっさりと出てきましたので記しておきます。

B点というのは、最初はθ≒1/3(ラジアン)のときのマイナス値約1.2、つぎにそのθから半周 π 増えたときのrと同じになる、ということで-lnθ=ln(θ+π)、これからつぎの二次方程式が出てきます。

   

これを解きますと

   

となりまして、上表の※のところの数値となります。

≪5≫ なお、陽または半陽な表示を求めようと、極座標から直交座標系の式

   

にはたどりつきましたが、ここから先がどうも進まず、ここはむしろ暑さが増加してしまった次第です💦ふ~ぅ。