≪１≫ 種々の数学定数のなかで、円周率を階乗したもの、つまり
というのもたいへん魅惑的な数でありました。”ありました” と申しますのは、魅惑度は今でもぜんぜん衰えてはいないのですが、探索する難易度が今日では超カンタンになっちゃいました〜という意味あいですネ。
文明が進歩した現代社会では、電卓ソフトかなんかで、ｐ，ｉ，！と計３回キーを押せば、ポィと応えて下さる。（ π キーがあるなら、計２回）
π！＝7.18808 27289･･･
優美な富士山の山頂に、文明の利器・人間ドローンかなんかでポィと行けちゃう感じ。
ですが、これではまんであいそナシなので、本日はちょっと回りくどくコレに迫ってみようとのココロミとなります。
≪２≫ π！を知りたいんだ！というときにまず思いつくのは、階乗の定義っぽく１づつ減っていく数を１未満にならない範囲で順に掛けていくというの。すなわち、コレ↓
π･(π－１)･(π－２)
これの数値を計算してみますと、7.68064 ･･･となって、本家のものより少々大きい。周辺状況の観察のために、π が入ってる範囲：ｘが３から４の範囲で、関数ｙ＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)を見てみる。これは３次関数となりグラフはこんなで、（赤いのが本家ｘ！、青いのが３次関数）
う～ん、通過点（３，３！）と（４、４！）はｘ！と当然一致している訳ですが、曲がり具合を比べると「急激増加度」が不足している感じで、そのためか｛π｝＝0.141592･･･（小数部分ですな）増えただけでもう十分大きく増えちゃう。タメが無いっちゅうか。
そーいえば、（下に）凸をパワーアップしたものに「対数凸」というのがあリました。たいがいの増加関数でも抑え込んでしまう関数・対数をとっても、まだ下に凸。３次関数でもなんでもｎ次多項式関数の対数はｎ·lnｘとなって、対数lnの性質に支配され凹となる。じっさい、上記の３次関数の対数版はこうなって ↓
そもそも関数の性格自体が違っているようで、近似としてもイマイチなのが目視できる。（一方は凸で、他方は凹､､､。ダメだこりゃ）
≪３≫ では、ということで、指数関数の(対数をとっても凸になるように)二乗以上で、両端での値が一致はもちろん、さらに両端での傾きもｘ！に一致するものならどうだろう、と。
両端での傾きのところは、ちょいと牛刀使用で、mamekebi-scienceさんによりますと舎弟関数 Γ の場合で、
とのことですので、n！なら１ずらすで。（ｈnは調和数：1＋1/2＋･･･+1/ｎ）
指定の数値が４コなので、未知の係数も４コ入れた
ｙ＝exp(ａx^2+bｘ+ｃ)+ｄ
を仮設定。通過点（３，６）、（４，２４）と
傾き（３，3!( –γ+h3) ）,（４，4!( –γ+h4) ）を代入し係数ａ〜ｄを求めていく･･･。
この先、このワリカシ単純な計算がうまくいかず、今回はスルーとさせて頂きます😖
≪４≫ 以前、弧長測定で登場した円弧近似法ではどうでしょう。円弧用の３点を、２，３，４ではまったくダメなので、３，４とあと中間の３.５で、ここでも牛刀援用で、Wiki「ガンマ関数」によれば、半整数地点では
とのことですので、３.５！＝Γ(４.５)＝7!!/16・√π＝11.63172･･･。
以上の３点を使用して円弧近似を実施した結果は、7.41329･･･となって、３次関数版よりは多少マシ程度、でありました。
≪５≫ 今回の π！は、円周率と階乗の素朴な掛け合わせによるものでした。今回のデザートとして、階乗絡みで、また虚数単位ｉも交えて、いろんな定数さんたちに登場頂きましょう。
・｜i！｜＝0.52156･･･
OEISさんではA212879。象形文字みたいな面白みがあります。
これはまた、そのまま舎弟関数、｜Γ(ｉ)｜にも等しいと。
・ｘ＝2.44861･･･ ＝ π (！^(-1))
これは、x！＝ π の解、という意味ですな。（自家製記号に要注意）
Wolframさんさんで、Γ(ｘ+1)＝πとすると、そっと出して下さいます。
・ｘ＝2.14489･･･
原点から直線距離で π 離れた点のｘ座標。
y=x!、x^2+y^2＝π^2の解として、同じくWolframさんの賜物。
・
＝1.31574･･･
今回登場の π！ の π！根！（最後の！は感嘆符デス）
・
＝4.47763･･･
もう１段、よくばってみた。
・ｘ＝3.56238･･･
ｘ！＝ｘ^2の解の、非自明なやつ。
Γ(ｘ)の不動点でもありまして、OEIS：A218802を参照。
・ｘ＝1.14251･･･
ｘ！＝ｘ^0.5の解。
１も解なので、ちょっとだけ大きいところで、再度交わり、
狭ーい領域を形成しています。
いかがでしたでしょうか。最後は「数学定数版・舞踏への勧誘」という感じを満喫いただけましたでしょうか？
