≪１≫ 以前に、一部マニアの間では有名な未解決問題
「π^π^π^π（＝π^^４）は、整数か？」
に乗じて、自然対数の底ｅ版を考えたことがありました。
数学定数場所番付表（自家製）におきまして、東西正横綱 π、ｅ に続く東の張出横綱に位置しているオイラーの定数 γ 版が検討出来ていませんでしたので、ここでメモっておきたいと思いたちました。
≪２≫ 賢明な読者の皆さまでしたら、この γ の場合の４段積みタワー、すなわち
＝γ^^4
は、0＜α４＜１となって、即座に『整数ではない』ということを感じて頂けると思います。
よく登場される、y=γ^ｘとｙ＝ｘを使った「クモの巣図」方式によれば、結果は一目瞭然、「見れば分かる」の世界でした。
↑ γ
またご高察のとおり、無限タワー版
＝γ^^∞
も、0＜α∞＜１ となって『整数ではない』となりますね。そしてそれぞれの数値は、以下の通りであります。
α４＝0.69190... (OEIS A--- ---)
α∞＝0.68594... (OEIS A231 095)
ナニはともあれ、
γ ^^ n
は、無限大を含めすべての正整数ｎに対して『整数ではない』という、実にトリビアルな結果を得るのでした〜。
［参考書(クモの巣図あたりの)］
平田雅樹、カオス的力学系入門、2002、日本評論社「高校生に贈る数学ライブ」ｐ46～
≪３≫ そもそも、冒頭の未解決問題とかは、
・タワー計算は、すぐにでっかくなる
・比較的小さい π あたりをベースにしても、もう４階あたりで
既存の計算機能力ではオーバーフロー
・なので小数点あたりの計算までは、到底手がまわらない
という計算機能力を問うものでした～。
手元にある計算ソフトなどで、さてどれくらいまで付き合ってもらえるものかと、弄ってみました。階は４階とします。
・Wolframさん・・・2.82あたりまで
・LibreCalcさん・・・2.3あたりまで
計算可能範囲自体が、こんな感じでした。これで、『桁数』ぐらいは算出できるのですが、それが一億桁となると小数点までは遥かかなた、となっちゃいます。
もっとも、これらは「計算機＝神」頼みの方法ですんで、『整数では無い』くらいは別途、正統数学的な解法があるのかも？ですが。
≪４≫ ここで、恒例の突発的話題変更となります。
先日４月１日、我がサッカー⚽️日本代表は、みごとイングランドEnglandを撃破。これはこれで、すばらしい！
鼻息荒い方々は、やれ優勝だとか仰ってる訳ですが、今回の本大会では、まず３位あたりを個人的には期待しております。
女子サッカーや⚾️WBC野球ではすでに世界一になっているのに、旬のサッカーW杯で『３位』を期待するのは、･･･以下の理由になります。
理由１・・・まずはもっとランキングを上げてから優勝したい
理由２・・・優勝はヤマルのスペイン、準優勝は復活ドイツ。
今回は、これに次ぐ３位。
理由３・・・３位決定戦では、フランスかアルゼンチンを撃破。
３位は、勝って終われるので、健康によい。
理由４・・・隣国ご自慢の『W杯４位』を超えるべし。
いまの日本代表は、本当に間違って優勝しそうな勢いですね～。ケガのヒトも戻ってきてほしいですし、次世代の方々も勢いハイな感じです。
いつも言ってますように、ニッポン特有のクリーンサッカー、これを成就し、それに『３位』が付いてくる、これで世界を驚かせましょう！！
本日も、ご静読ありがとうございました。
