≪１≫ 平面図形でその面積と全周長が、数値的に一致するような図形を、戸村先生は 「超図形」（ultra図形）と命名されました。［１］ここでは、ｎ次元の場合の「超球」とかの呼称と紛らわしいので「ultra」を使用したいと思います。
たとえば、一辺の長さが４である正方形では、面積は４^２＝16、全周も４×４＝16となり、これが「ultra正方形」となるわけです。
同様に「ultra円」を探してみると、半径をｒとして、πｒ^２＝２πｒから、ｒ＝２が該当することが分かります。
いま求めた「ultra正方形」と「ultra円」を重ねてみますと、両者は「接している」ということが観察できるわけです。
≪２≫ では、立体ではどうか？と思うのは自然な発想。で、立方体では、面が６個あることなどから、ａの方程式
の解としてａ＝６が該当。他方、球では中学生必須の暗記式の登場でｒの式
の解でｒ＝３が出てくる。ここでも、やはり両者は接していることが分かります。
≪３≫ 一般のｎ次元における立方体と球ではどうなっているのか？と思うのは至極自然な発想。立方体のほうは式
より、一辺ａ＝２ｎのときに；いっぽう球のほうは（いささか牛刀っぽいですがby Wolfさんから）式
の解で、半径ｒ＝ｎのときに両者がultraになり、このときａ＝２ｒ；すなわち 「一辺＝直径」となり、両者はやはり「接している」ことになります。
（・・・４次元の球って、こんなんでしたかね？）
≪４≫ いきなりｎ次元に行っちゃいましたが、ちょっともどって、平面の正多角形の世界ではどうでしょうか？
ここでも一辺の長さがａのultra正ｎ角形は、面積＝周長の式；
から一辺ａ＝４tan(π/ｎ) となります。（cotはtanの逆数）このときの「辺芯距離」（by Wolfさん用語、ふつうには内接円の半径）は一般に
とのことですので、これに先ほどのａ＝４tan(π/ｎ) を代入しますと、ｎにかかわらずいつも２、すなわちultra円の半径と等しくなり、いつも（正なに角形であっても）「接している」ことが観察されます。
≪５≫ ここまできますと、（５個しかないといわれる）正多面体ではどーなっているのかと気になるのが、いけないクセです。ここでは恒例のWikiさんに活躍いただき、体積や面積の式を活用させていただきたいと思います。
ここでも同様の計算でもって、ｒ＝３のultra球には、どんなultra正多面体も接していることが分かります。計算の方針は以下の通り。
１．体積＝表面積の方程式から、ultraの場合の一辺の長さａを求める。
２．内接球の半径の式に、上記のａを代入する。
３．半径を計算すると、５つともｒ＝３となる。
（正12面体のときは計算がややメンドウですが…）
たとえば、ultra正20面体は、一辺ａ＝3.96950…のときで、
これはｒ＝３の球に接している、、、。（このａ＝3.96…は代数的数です、念のため）
つまり総じて、ultra図形は、よい図形である、といえると思うんです。
本日もご静読、ありがとうございました。
参考書
［１］戸村浩、超平面‐円、数学セミナー3-77、TOMのページ、日本評論社
［２］ほか、数学セミナー2-77，5-77，3-79など。
もろもろの発端は［１］です。
［３］上掲のWiki、Wolfご両名。 いつもありがとうございます。
改定
2024.02.16 図がみにくかったので明確化、文章も少々見直しました。
