≪１≫ 平面上にｎ個に点があって、どの２点も直接（ほかの線と交わらずに）線で結ぶということを考えます。点の数が３個とか４個の場合はこれらは直接、線で結べます。
点が５個になると、どうやっても交点が発生してしまうので、その地点では交わりを回避する必要があります。トンネルを掘って、下をくぐるとかです。（下図で、赤いトンネルのところ）
つまり、トンネルを掘る＝穴が１個のドーナツ面上では、５点を結べることになります。
≪２≫ 穴の数をａ個として、この曲面上における点の最大配置個数をｆ(ａ) としますと、上記のことは、
と表せるというわけです。
これはたとえば、都市計画上、各都市間を直結するにはどれだけのトンネル（または高架）が必要か？といったインフラ整備面でも役立ちます。
実のところ、ａ＝１のドーナツ面では、下図のように、７個の都市を配置できます。
【構成方法】
１．ｎ1から、となりのｎ2へは直結する。
２．ｎ3とｎ4へは、トンネルをくぐって直結する。
３．以上をｎ2以下にも同様に施す。
≪３≫ つぎのステップは、さて８点は配置可能か？という点です。
ここでいきなりですが、地図の彩色問題に登場するヒーウッドの公式；
(式はWikiより引用)
で、ｇ＝1のときは必要彩色数が７っていう事実があります。これはつまり、７色で十分で、８番目の都市をもってきてもすべてを直結できない、仮に直結できるなら８色が必要となり、公式に矛盾。７都市の全直結は、上図の構成例で必要性がある。
つまり、
が確定される。・・・さて、こんな論法で、合っていますかね？
