≪１≫ こどもからおとなまで、みんなが大好きなゼータ２；すなわち
は、食べ物でいえばカレーライスかラーメンかと言われているくらい人気のある数式であります。
本日は、このシグマ内の分母のところにｘを添えてみることで、どんな味の変化が楽しめるかというココロミでございます。すなわち、
という関数ｆ(ｘ) を満喫頂くというもので、「ゼータ２のｘ添え」と呼ばれています。（いろんな呼称は自家製のものです）
≪２≫ 最初にお断りしておきますが、本稿は下記の参考図書によるものであります。
【参考図書】森口他、数学公式Ⅱ、岩波全書、ｐ67,68
これからしますと、上記のｆ(ｘ) は、ｘの正負に応じて次のように表されると。
ここまでお膳立て頂いていますと、あとはグラフ化して満喫します。
よく知っているとおり、ｘ＝０のときは
またｘ＝－ｎ^２の場合は
有理点なんかもあり
ｘをうまく選んであげるとｆ(ｘ) はどんな値でも取りうる訳で、たとえば
などなど、目で見て確かめて頂けるかと思います。さらに、
と、オイラーの定数なども堪能頂けるという、今宵の一品でございました。
≪追加３≫ 最近、といっても数年前に出た若原先生の次の本にはこの手の例が沢山挙げられています。
【参考図書】・若原龍彦、美しい無限級数、プレアデス出版(2017)ｐ137~
・同、美しい数学を描く π、e、とオイラーの定数ɤ(2019)p190~
例えばｘ＝0の前後で、ｘ＝－1/16＝－0.0625（０よりちょっとマイナス）のときは
逆にちょっとだけ大きいｘ＝1/π^2＝0.1013…のときは
すなわち1.54476…となり、いずれもバーゼルの数 ζ (２) の近くに存在しているようです。
究極は、ｘ＝0.65415…のとき、ｆ(ｘ) はなんとアペリーの定数になっちゃう、つまり
ってな関係が味わえるのでありました。
