≪１≫ 図形：レムニスケートと、図形：円は、このような
容姿なのは有名。また、これの周率となる次式＝レムニスケート定数もよくお目にかかるものですね。
このとき、「周率」がらみでおなじみの円周率 π もひっぱりだされます。
この２つの数式を眺めていますと、善良なひとなら次のような疑問が生じてきます。
「そんなら、中間の３乗の場合はどんな図形の周率かな？」
本日はここらへんをかじってみようと思います。
≪２≫ さしあたり、指数のところをｘの関数としますと、
となりまして、ｘ→＋０ならｆ(ｘ)→∞、ｘ→∞ならｆ(ｘ)→２はすぐ想定できるとして、ＰＣでカタカタっとすると、ガンマさん援用の次式と全体像が出てきます。
ｘ＝２では円周率πとなり、ｘ＝４では冒頭のレムニスケート定数となるわけですね。
とりあえずは先行で、ｘ＝３での数値を求めておきましょう。OEISではA118292です。
≪３≫ ここで、ｆ(３) が周長になるような図形はどんなかな？と探りをいれます。
安直には、レムニ（以降略称で）と円の「中間」だろうというノリで、極座標方向の「平均」という作戦で攻めてみます。極座標では、円ｒ０、レムニｒ１は次式でした。
これら２つの平均曲線がｆ(３)になるんでは？？と。平均曲線として 調和M-1、相乗M0、相加M１の３種を試みるも、むらさきM-1＝2.78･･･、オレンジM0＝2.84･･･、グリーンM１＝2.92･･･となって、ぴったりｆ(３)になるのは無さげ。（数値は概略）
では、別の作戦、陰関数表示すなわち
で、ｐ＝1/2がレムニ、ｐ＝０が円ということから、その中間ｐ＝1/4 あたりをターゲットにするも周長があわず、これも撃沈。（ミドリの線）
≪４≫ なお、別の趣き情報として、先ほどのOEIS＝A118292からのリンク先、Wolfさんに次の情報がありました：平面６次曲線
の "面積"はｆ(３) になりますょ！と。（バタフライ曲線というらしい）面積 π の円と比較しますと、
ってな感じで、確かにπには迫っている感じ｡｡｡ こうなると、面積＝ｆ(４)の図形も欲しくなる。
≪５≫ ということで、今回は未だばっちりなところには辿りつけておりません！という報告になります。（もっともそんなのがあるなら、すでにどっかに出てるハズですよね ^_^;）
ジブン的には、次の様にならんかとひそかに期待しております。
レムニというのは空間のなかで円の片側をペタッと180°ねじった感じ。なら、90°だけねじった空間曲線の周率あたりじゃなかろうかなーぁと。ｉ×ｉが－１になるみたいに... 。
≪参考記事≫
［１］Wolfでの積分数値から、OEISに到達。
［２］上のOEISからのリンク先が、再度Wolfへ。
［３］ 黒川 信重著、オイラー，リーマン，ラマヌジャン－時空を超えた数学者の接点 (岩波科学ライブラリー) 2006、ｐ70
［４］スティーヴン・R.フィンチ 著 ; 一松信 監訳、数学定数事典、朝倉書店、2010、
ｐ423（←このページでは残念ながら分母のルート記号が抜けてますな。次ページでは回復。）
