≪１≫ 本日は「ある２数の大小問題のこと」(５/２８)の続編、、といいますか、その周辺情報を書き留めておきたいと思います。
≪２≫ まずは、Wolfさんに「ｘ^ｙ＝ｙ^ｘ」と入力すると、いきなり登場します下記の陽なる表示式；
これを数値上で再確認してみました。W( )は、”ランベルトのW函数” とかいう高尚な関数とのことですが、説明は愚生には手に負えませんので、
あたりを参照願います。
この式が、前回のような（Geoさんの）グラフになるのかどうか？ですが、エクセル風の表計算LibreCalcでカタカタっとやると、おおむね
めでたく「双曲線」風のかんじになり、数値も（２，４）の組や、（ｅ、ｅ）なども通過していますので最初の式でやっぱし相違なしのようです。
前回記事の最後の数値の例；
√３^５ と ５^√３ ではどちらがおおきい？
ですが、y=5となるようなｘはというと、上表から
ｘ＝1.76495…
となり、√３＝1.73201…よりは大きくなっています。（下のミドリの点、あかの点。）
つまり、これは水面下＝マイナスの領域にある組み合わせとなりまして、結局、指数の大きいほうが逆に小さい；
√３^５＝15.58845･･･
５^√３＝16.24245･･･
すなわち、 √３^５ ＜ ５^√３
となることが分かります。（もっとも、数値大小だけならこんなことやるより電卓でやるほうがはやいですが…😅）
≪３≫ さらなる余興ですが、かかる曲線が「双曲線」に似ているとのことで、その双曲線を赤点線にして比べてみました。（式はグラフ中に表示しています。）
かなりニアーではありますが、でもやっぱりちょっと違うというのが目視観察でもわかり、じわりました。たとえばｘ＝４のとき、本家の式ではｙ＝２ですが、こちらのモドキ式ではｙ＝1.98416…と。。。
こんごは、このわずかに見えるスキマの面積が、はたして収束するのか否か？あたりも探求していきたいと思っております。
以上のご静読、ありがとうございました。
参考資料
［１］W関数の数値は、CASIOのkeisanサイトを使用させていただきました。
作者: tonagai さん。
今回は、ここでの計算結果を上記の表計算にせっせとコピベしてこしらえました。表計算で実装されてれば最高なんですが。。。（されてる？）
なおこのkeisanは、W関数以外にもみんなの自作式とかもあり、愚生のお気に入りのページのひとつとなっております。
［２］森口他、数学公式Ⅰ、岩波全書（2020）
これのｐ281にも「x^y＝y^x」のグラフが載っていました。さすが公式の鬼。
むかしの先生方も、やはりこんなんにも興味をもっておられたことが感じられ、うれしいです。
