≪１≫ 「なんとかの何乗」というベキ演算では、交換法則が成り立たないのをいいことに、 ａ^ｂ と逆にしたｂ^ａとの大小問題がよくお目にかかりますね。有名どころでは、
といったものです。［１］～
これの定番解法というのは、対数をとって比較するんだということで、関数ｙ＝ln(ｘ)/ｘがｘ≧ｅでは
と単調減少ですんで ａ、ｂを ｅ≦ａ＜ｂ とした場合には、 ln(ａ)/ａ＞ln(ｂ)/ｂ つまり ａ^ｂ＞ｂ^ａ となるということで、はやい話が「指数が大きいほうが大きい」ということです。（両方ともｅより大きい場合です）冒頭の３例はそういう例ですね。
同様にしてａ、ｂがともにｅより小さいときは大小が逆転し、こんどは底数が大きい方が大きいとなるわけです。
【6.11 修正です】
（ɤはオイラーの定数） 等々。
πはｅ以上でした😅 例としては、かわりに ２ としておきます。
（引き続き、ɤはオイラーの定数）
≪２≫ 状況を俯瞰するためにつぎの、２数の差の関数をもってきましょう。
いきなりですが、これを３DーGeoさんに描画してもらいます。（見やすくするためですが高さｚ軸方向は少々縮めてあります。）
ちょっとｘ軸に沿った山脈みたいなところの向うがわかりにくいので、視点を変えるとこんな感じです。座標でいうと（15，10，10）あたりから見る。
ここで観察されることは、
・ｘ^ｙ＝ｙ^ｘとなる、すなわち ｚ＝０ となるのは、グラフで「海岸線」風
に見える個所のハズだ。
・それはｙ＝ｘはアタリマエとして、なにやら双曲線っぽい曲線上でも等しく
なっている。２^４＝４^２などは、この曲線上にあるハズ。
・交点は（ｅ、ｅ）っぽい。ｘ＝１，ｙ＝１が漸近線。
・（ｘ、ｙ）での値と（ｙ、ｘ）での値は＋－が逆。つまり奇関数ふう。
ここで２数が等しくなるという「海岸線」をピックしてみます。つまり、ｘ＝ｙなら当然２数は等しいのですが、あとｘ≠ｙでも ２^４＝４^２みたいに等しくなる点が、反比例みたいな曲線（きみどりの曲線）上に乗っかっていて、その付近では大小の区別が発生しているという状況です。
いま奇関数性のため、ｙ＞ｘつまりｙ＝ｘより上側のみを対象としましょう。そしてｘもｙもｅ（むらさきの線）で区切ると４つの領域に分かれます。領域①②は「指数の大きい方がおおきい」、領域③④は逆のエリアです。
サンプルの点でいいますと、A点は π^e＜e^π、Ｂ点、Ｃ点も上記の点となります。
≪３≫ はじめの関数ｙ＝ln(ｘ)/ｘで判別できるのは、領域①と領域④となりますね。
逆にこれでは判定不能な、③や②、あるいは曲線付近のキワドイ２数をもってきて大小を比べてみるという新種の楽しみ方もできます。
たとえば、√３と５とかで、数値的には、
√３^５＝15.58845･･･
５^√３＝16.24245･･･
となりまして、指数の大きいほうが小さい、つまり負の領域③に属しているという感じです。
こんごは、このあたりの判別方法を模索するということで苦悩して（楽しんで？）いきたいと思っております。
御静読、有難うございました。
≪参考書≫
［１］鈴木貫太郎「大学入試数学 不朽の名問100」(ブルーバックス、2021)、ｐ167～
［２］一松信、牛島照夫「数学の問題第３集」(数セミリーディング、1988)､問27，76
などなど。
