半世紀の隔世感を堪能する

≪１≫　いまの世のなか、なんでもかんでもPCやスマホに依存しているわけで、愚生もそのひとり。（といってもその入り口あたりですが） 数学のなかの一分野、「数値の計算」なんぞはまったくこのデジタルの世界の得意分野でありますね。

　中世のニュートンとかオイラーやガウスの膨大な計算記録を眺めていると、この方々の時代に現代のPCとかがあったら一体どんなことになっていたんだろうと想像してしまいます。つまり、彼らが数値計算に費やしていた時間をもっと別の研究時間に費やしていたら、、、と。（逆に、その計算を楽しむことで、偉大な業績のもとになったとも考えられますが）

　本日は、いまから半世紀まえあたりに小生が遭遇した数学の問題を、現在の観点で見つめなおしてみるとどんな感覚を味わえるか？というこころみとなります。

≪２≫　ひとつめの出し物は、有名な「ケプラー-ボウカンプ定数」というもので、

　　　　・単位円からスタート。それに内接する正３角形を書く

　　　　・それの内接円を書き、さらに内接する正３+１＝４角形を書く

　　　　・以下これを繰り返す。このとき極限円の半径は？ゼロか？

　　　　（図はhttps://en.wikipedia.org/より）

というもので、コタエの数値は意外にもゼロではなく、ρ＝0.11494･･･とのこと。

　これを求める数式は、

　　　　

とのことで、π/3つまり60°のcos＝0.5からはじまり、１に近づく数の乗積なのですが、実はこれの収束がめっちゃ遅い、と。

　で、「これの数値を（せめて小数点以下３けた位まで）求めなさい」という出題が、むかしの数セミ「エレガントな解答をもとむ」に出ていました。これの出題自体は1971年で、小生は直接見たわけではなく1978年刊行の第２集で遭遇したわけです［１］。（どっちゃににしても、いまから50年くらいまえのことですが･･･😅）

　図形的な考察から上記 cos の式を導出したら、今日的にはいきなりWolframとかにかけてみたくなる。乗積 Π も準備されてるWolfの（むらさき色の）画面に、ポイポイと入力すると、ひょこっと出てくる。

　　　　　

こんどはその数値の始めの方5，6ケタ程度をOEISで検索するとメデタク hit。（⇨OEIS　A085365）歴史的背景や関連情報なども、これでもかと付いてくる。別名が多角形内接定数だとか、どなたかは「多角形の井戸に落ちる」なんて表現してるとも。（井戸のほうは残念ながら、404😢）

　半世紀まえの時点では、おそらく電子計算機を使えるというのは一部の高級な人で、ふつーの人は、電卓や数表を活用したりで苦労されてたと思います。上記の出題の当時の解説欄では「電子計算機を用いれば何でも計算出来ると思ってはいけない。直接、式を計算したのでは･･･（計算機でも）いつまでたっても2～3桁しか答が得られないであろう」とも。

　つまり、計算機にかけるまえにしっかりと数式の評価をせんといかんよという趣旨の出題ですね。これはこれで大事なことですが、計算機の能力については格段の差が生じてしまっていて、隔世感を味わえます。

≪３≫　ふたつめの出し物は、同じく「エレガントな･･･」のこんどは第３集に出ていたもので、次の関数の最大値を与えるｘを求よ、との出題。

　　　　

　いまの小生がこういうときに使うのは、いきなりのグラフソフトGeoGebra。式を入力すれば、グラフが（わりあい）正確に描画され、たいがいの場合、最大点や零点なども拾ってくれます。

　今回のは、問題にされた最大点を含め、こんな感じ。あっという間のティファール。結果を知れば、あとはその導出に専念できる。ここでも隔世感100％。

　　

　このｘの小数点以下の数値はみんなが見覚えがあるもので、コタエは1+√２なんでは？と推定。問題自体はそこで確かに最大となるというのを論証していくというのが出題の主眼のようです。出題者は「何でもビブンしてそれの零点前後の評価？それでイケるかな？」とも。

　解説記事には最後にグラフもついているのですが、当時のフツーのひとにはそんなグラフを描く手段は極少。電卓でlogの数値を書き出し、その数値を方眼紙にプロットしフリーハンドでもって滑らかに繋いでいくという方法で過ごした方も多いのでは？できた曲線をながめてはニヤニヤしていた時代が、小生にもありました。これではないのですが、一例として、ｙ＝ｘ^ｘ、ｘ^ｘ^ｘ、･･･のグラフを、手描き版とGeo版とを載せておきましょう。ここもカクセイ感が･･･。

　　　　

　もとの問題に戻りますが、今日的には変曲点もぽぽぽいっと出てきます。当時の解説記事では「ほぼ７以上でｆ‘’が正」とありましたが、誤入力なければですが、今日的Geoでは「ほぼ４以上」となるようです。（もしかしてこれも当時の計算機のせいかな？ならばこれも隔世感120％）　

　　

　　（橙、緑の順に１次導関数、２次導関数）　

≪４≫　前にも書いたかと思いますが、WolfでもGeoでも数値は近似表示であったりする場合もありますので、あくまで全体のイメージ掴みや結果想定に活用するというのがよい正統な使い方だと思われますね。

　計算機にたよる安直な結果予想とかは、例の「少数の法則」のまえにはイチコロです。小生も、計算機さんには頼りっきりですんで、今後とも用心します。

　御静読、ありがとう御座いました。

≪５≫　参考書　

［１］一松信編、数学の問題　エレガントな解答をもとむ＝第２集、第３集、日本評論社、1978（問題111，117），1988（問題71）

［２］S.R.フィンチ、数学定数事典、朝倉書店、2010（OEISからもリンクされていますが、6-3にケプラー-ボウカンプ定数の関連情報多数あります）

超球の体積とその付属品

≪１≫　九州への出張移動中の新幹線車中で、最近（といっても去年）入手した古書（1987年訳、36年まえ！）D.ウェルズ「数の事典」をながめていたら、単位球の体積が５次元のとき最大となるという項目に出くわしました。この事実はかなり有名でして、ご承知の諸兄も多かろうと存じます。同書では、関連内容として

　ａ）５次元のとき、体積V＝5.26378･･･

　ｂ）次元を連続変数とした場合は、5.256･･･次元で最大体積V＝5.27776･･･

とありました。以前から持っていた同系統の本、Ｆ.ル・リヨネ「何だ この数は？」（こっちは1989年訳と）ではａ）の記述でしたので、ｂ）もあわせて

「これら５付近にあつまっている数はどんな位置関係だろうか？また、次元の数値とそのときの体積数値が一致するのはどんなときだろうか？」

と、素朴なギモンを抱いてしまったわけであります。

≪２≫　さっそく「超球の体積」あたりでググってみますと公式が登場。

　　　　

つぎに、これをGeoに入力。キレイなカーブです。

　　　　

たしかに、ｘ＝５過ぎで体積は最高潮に。ｙ＝ｘの直線もプラスして頂上付近を拡大してみますと

　　　　

　　　　

３つの ● 点が、小さいものから順に、上記の

　　　ａ）ｘ＝５次元での点；

　　　ｂ）ｘ＝5.256･･･次元での最大体積V＝5.27776･･･の点；

そしてｃ）ｙ＝ｘとの交点が5.27767･･･

となり、この次元のときの体積が同じ数値になるという訳ですね。ａ）やｂ）は、おなじみのOEISではそれぞれA164103とかA074454とかにありましたが、ｃ）は無さげな感じです。ｂ）のすぐ近くにある、逆にいうと不動点ｃ）のすぐ近くに最大点があるというのが、美味です。

≪３≫　すこし戻りますが、Vｘの始めの方（ｘが0から4あたりまで）は、リニア―な増加状態。ここはちょっぴり興味深くスルーするには惜しい。

そこで、これによりそうｙ＝ｘ+1との比率比較曲線はどうかといいますと、

　　　　

となって、2.506･･･次元あたりで､「対次元比」がプチ最大となる！とGeoさんはおっしゃっているようです。

≪４≫　こうなると、表面積のばあいはどーなんだろうと思うのは、自然な感情ですね。その公式は、体積と似通っていまして

　　　　

（ただし、ここでのＳｘとはこの次元にある「球」で、例えばＳ2とは平面の円の円周２πを、Ｓ３とはふつうの球の表面積４πをあらわすものとします。）
比較のため、体積曲線とおんなじ座標に、こんどはみどり線にて表示しますと、

　　　　

ってな感じになるようです。体積の場合と同様に各数値を求めますと

　　　ａ）正の整数では7次元のとき、S＝33.07336･･･（A164107）

　　　ｂ）実数の場合は、7.25694･･･次元のとき、S=33.16119･･･（A074456）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　ｃ）次元と表面積の数値が一致するのは、12.76405･･･次元のとき。（A175477）

それにしましても、12.76･･･次元って、さていったいどんなあたらしい風景がみられるのでしょうか？！

ニ定数の調合を堪能する試み

≪１≫　WBC⚾の熱戦も日本の優勝で幕となり、たいへんよかったです。日本の総理さん、「特別休日」にでもしてくれるかとも期待しましたが、今回はそれどころじゃなかったようですね。「特別休日」は、先々のサッカーW杯優勝にまでとっておきましょうか。ということで、ひさびさの数学っぽい記事となります。

≪２≫　本日は、シンプル素朴な２つの定数の組合せ演算から、どんなあたらしい景色がみえるか？という、W杯を引きづったような内容となります。

　選んできた定数は以下のメンバーです：

　　ɤ：オイラーの定数、0.57721･･･。無理数かさえ不明の代表選手。

　　√２：みんなが知ってる無理数代表選手。背理法にイカサマ感を感じたあの日。

　　２：整数界からはこのひとをもってきました。

　　ｅ：「自然対数の底」っていう、定数界の西正横綱。（または女王さま）

　　π：ご存知、東の正横綱。（または王様）

これらのうちから２つを選んできて、足すなり割るなり、べき乗にするなりという試みです。つまり、サンプル次表の２と３での例の様に、数値を計算し（させて）その結果をながめて堪能する、という内容ですね。OIESにあれば、それも併記しています。（見つけた範囲です）

　　　　　　

≪３≫　では、いきなりですがこれらの結果の表をポチッと挿入いたします！

小さくて見えにくいかもですが、色付けは個人的な雰囲気で次の感じで付けています。

　　　　

また、OEIS欄でA．．．だけのものは、ある程度探しましたが見つからなかったもの、片カッコ付きで（Aとしているのは、その逆数とかは出ていたという感じです。（割り算で、結果が大きすぎると扱いにくいので、小さい方採用としています）

≪４≫　さて、この表からどのように楽しみを得るか？という点ですが、愚生的には２つの側面から味わえると感じています。

　その一つは、結果の数がはたして無理数なんだろうかどーなんだろうか？という点ですね。Wiki「無理数」によりますと、現状、無理数かどうかが不明と判明しているのは、

　　　　ɤ、e+π、eπ、e^e、等々。

では、もっと単純にみえる√２+ｅとか π^√２とかはさてどうなんだろうと想いめぐらすわけです。

　もうひとつの楽しみ方は、数値をながめて不等式を引っ張り出すというもので、

　　　　ɤ < 2－√2　だとか　

　　　　√２ < (π)√π   (←πのπ乗根の意)

なんかは例の「π>3.05」問題みたいに、比較的簡単に証明できるんやろうかと想像し苦しむという味わい方であります。このポイントは、整数に近いものや他の数にニアーなものから不等式に誘導していくという手順になります。

≪５≫　今回は、数ある定数の中から５選手を選んできました。また、そのうちの２選手だけから出てくる演算の数値結果に注目したわけですが、これって、サッカーやWBC日本代表の選手選考や、その組合せにも通じているような感じで、楽しいです。

　昨年のW杯や先日の親善試合メンバー、それとかこの前のWBCの選手選考でもいろいろと評価されているようですし、それを選んでいる両監督、森保さん、栗山さんもてーへんだなーと、感心しております。（このおふたり、どっか似ていると感じるのは愚生だけ？）野球の場合は、投手と捕手の組合せや二遊間などでコンビネーションが重要視されますが、サッカーなんかはこのコンビ・組合せの観点がもっとキビシイ感じですね。「あの選手とあの選手は息があっている」だとか「あの選手は、チームプランにマッチしていない」だとか。。。

　野球のほうは今回とりあえず世界一になれましたので、次はサッカーの番ですね。差し当たり、今回の対南米親善試合の様にランキング10番台クラスの国々と互角以上に戦えるよう頑張って地力をつけてほしいと思います。

　そうすれば「W杯優勝 → 特別休日」もユメではないのです⚽（そんな事態になれば、日本人は休みじゃなく、逆に２倍働く！っていってたひとがいましたな）

本州の内心・外心

≪１≫　そのナニコレでやっていて分かったんですが、本州で海からいちばん遠い地点ということは、本州の内接円の中心＝内心ということになりますね。GoogleMapさんでは、長野県のまんなかへん、このあたりとのこと。

　　　　

≪２≫　では、本州の外接円の中心＝外心ということで探ってみましたら、下記の白い距離線の中心で、石川県能登半島の沖、、、と推定されますね。

　　　　

両端の山口県下関市と青森県の端点を拡大しておきますと、

ここから

ここまでとなるようです。その距離１２４８ｋｍ。（この数字のナラビも親しみのあるものです）

≪３≫　こうなると本州の”重心”を探りたくなりますが、これはnetさんから検索。

　　　　

やはり長野県内の北部、道の駅おがわという場所の近辺とのこと。

dailyportalz.jp

こういう場所を訪ねたり、「行ってきました」というのはよく見かけますが、さらに好きなかたは、３Dプリンタで本州などを作成して実証されたり、本州地図をフリーハンドで描くと正確さを評価してくれるソフトを作ったりされてると。こうなると敬服しか御座いません。

≪４≫　上記のような端点を地図上で探すという場合、どこが海岸線なのか分かりにくい場合が多いですね、というかほとんど。GoogleMapさんの航空写真モードなんかだと余計に分かりにくい。海岸の岩の端。砂粒の端。砂の構成分子のはしっこ･･･。どこが「はしっこ」なんだか。

考えてみると、それはそれで、実は海岸線って「連続だが、いたるところ微分不可能な線」のなかまなんですよね。実在の線や面もすべてそうですよね。すべすべした肌や、超々微細に研磨したレンズ表面なんかもそう。逆に、微分可能な線や面って、そんなの実在しない。連続だが、どれもいたるところギザギザしている。

≪５≫　有理数と無理数も似たような関係があるようです。

たとえば身長170ｃｍのひと。そのひとは過去に、身長がルート２×100ｃｍ＝141.421356･･･ｃｍだった時点があるはず。逆に、いまの身長が、ぴったり有理数170ｃｍというのは、きわめて低い確率。（ただしゼロではない。）ひとの身長も連続（不連続って、あり得ない！）だが、身長の値はほとんどの時刻で無理数でさらには超越数。たまに、有理数だったりたまたまルート２みたいに代数方程式の解の値だったりするが、ほとんどは超越数！

青少年のみなさんにも、こんな感じで超越数やいたるところ微分不可能といった概念に親近感を感じてもらえたらうれしいです。

「あなたの身長は、ほとんどの場合超越数なんだ！」

「きみの顔の面は、いたるところギザギザである」

ただし、言う相手とタイミングには注意してください😅　

本州内の架空最長直線道路について

≪１≫　サッカーW杯も終わり、久々のブログとなります。先週でしたか、TVのたしかナニコレ珍百景で、日本でいちばん海から遠い地点というのが出ていました。きょうは、地理の観点から数理的な話題を少々。

≪２≫　よく、日本でいちばん長い直線道路は？だとか、線路は？というのがありますよね。もし日本でいちばん長い直線道路を陸地内に造るとしたら、どこからどこへ道路を造ればいいのか？というのが、昔から日本地図をながめていての疑問でした。

今日では、GoogleMapの右クリックで距離を測定って簡単に結果が出てきますので、それでもってちょっと探索してみました。

≪３≫　まずは、山口県宇部市小野田港から福島県いわき市あたりに行くルート。もうひとつは和歌山県白浜町付近から青森県八戸線大蛇駅あたりまで行くルート。Googleさんの測定によれば、前者が947.27ｋｍ、後者が945.58ｋｍとなって、前者のルートが最長と思われます。

　

本州は湾曲しちゃってますので、前者なら福井県敦賀市あたり、後者なら新潟県新潟市近辺がぎりぎり接する感じのルートです。

　

≪４≫　以前にも書いたかと思いますが、数学的感覚を学習するのにこういう地理問題を宿題に出すのもいいと思うのです。中学か高校でもいい。すると、「接する」とはどういう状態なのか？「領域内」はどう判断するのが妥当なのか？といったことを、実際に（といってもパソコンの画面上ですが）体感し学んでいけると思うのです。

”こうすれば解ける””これは頻出公式””類似の過去問はこれ”・・・こういう受験テクじゃ数学が暗記物みたいになっちゃう。そうじゃなく、青少年のみなさんには生きた数学を学んで欲しいものですね。

⚽W杯も終わり｡｡｡

≪１≫　昨年12月のサッカーW杯も終わり、先ほどは高校サッカー決勝戦もおわり、多少ロス的な感じになっております。

≪２≫　オマケに、使っているPCがWIN8.1だったもので、「サポート、終わりますよー」とのことでちょっくらバタバタ。

キワメツケは、家族3名全員がコロナ陽性となって、コンコン（咳）していました。そんな感じで、当ブログもちょっとご無沙汰になってしまいました。すいません。

≪３≫　W杯の試合内容のことはもうあちこちで語り尽くされてるかんじですが、自分的に新鮮だったのは、2点。

アベマ解説の本田さん、寺阪アナ、槙野レポータのかけあい。これは吉本デビュー出来るレベルだと思いました。

もひとつは、やはり影山さんの存在。ちょっとまえからそういうタレントがいるとは聞いていましたが、今回、もっているサッカー情報量が半端ないと感心した次第です。

≪４≫　あと、アベマさんが無料中継してくれたのは最高でした。アジア最終予選のときはZADNだったので映像は見れず、YouTubeの音声チャンネルで聴いて喜んでいた次第でした。

≪５≫　世界の多くの国で、サッカーが国技だとも聞きます。今回のアベマの導入動画でも木の枝でこしらえたゴールでサッカーをしているのがありました。今はそんなんはないのか、やはりいまでもあるのかは分かりませんが、ボール１ヶで始められるというのは世界中で国技になる大きな要素かなと思います。

日本も蹴鞠の源流がありますし、さっさと国技に登録して（登録が必要？）、昭和の時代のプロ野球ナイター中継みたいにお茶の間に入っていくと、もっともっとサッカー熱も浸透すると思いました。

⚽つぶやき 第二弾

≪１≫　いよいよ、今月に⚽W杯開幕ということで、引き続きサッカー関係でつぶやいてみます。

≪２≫　メンバー発表直後に、なんと中山雄太選手がケガで出場不能との大ニュース。ともかくケガを直してもらって、引き続きチームで活躍してもらうしかないですが、松葉づえで笑顔で「ニッポンを応援しましょう」といってたので、こちらもちょっぴり安心しました。

巷の話題は、では代役はだれ？というところでしょうが、明日11/7のお昼ごろには発表されるとかで、これはこれで楽しみです。旗手、原口らのなまえが上がっていますが、私的にはここいらは本来の中盤で使ってほしい、ＳＢは長友が疲れたあとは伊藤などを回す等でＤＦ陣が踏ん張ってほしと思います。

他方、大迫はいつのタイミングか不明ですが、控え（補欠）登録を一旦は断ったとの情報もあります。心情的に最初の２６名に漏れた当落線上だった各選手は、ケガ人の「代わり」となればなかなか複雑かも知れません。「中山の分までガンバルでー」とプラスに考えてもらえればいいんですが｡｡｡ここいらは、技術云々というよりもう本人次第ですね。

だれを代役に選んでも、森保さんはまたボロカスに言われるだろうって、どっかのYouTubeでいってましたが、人を選ぶ立場の人、上に立つ人っていうのはどこの世界でもつらいものですなぁ。とにかく、あすの発表を待ちましょう。

≪３≫　現実論からいきなり今後のサッカーにたいしての未来論を｡｡｡

ニッポンらしいサッカー、、、ということを考えると、以下のような点を、すべての関係者に考えてもらいたいと感じております。

・サッカーにも、武道にあるような礼に始まり礼に終わる精神を植え付け、これを世界に輸出する。類似競技のラグビーにある「ノーサイド」精神のさらに先を行く。具体的には、試合終了時の相互のあいさつをしっかりやらせるなどなど。

・とくに、グランドにつば吐きなどは厳禁とする。大相撲や柔道でそんなことするか？グランドは神聖な場所、あるいはゼニの落ちている大事な場所と教える。具体策としては、うがい用には大相撲やボクシングでやってるようにバケツなどを準備する。世界中のサッカー小学生にたいして、みっともない。

・いつかの正月の大学ラグビーでみかけましたが、審判が選手に対して「今のプレーは、こうこうだから君の反則です」と説明付きで諭すようにジャッジを下す場面がありました。W杯でも当然こうした要素を取り入れてほしいです。プロ・アマとかありますが、サッカーを通じて人生教育を進めているんだという崇高な精神で、審判も選手もスタッフもことを進めてほしいものです。

・サッカーはもともと手を使わないのが原初的なルールのはず。が、いまやユニフォームを引っ張る程度はスルーされてる感じです。こういうのにはもう即刻イエローカード。相手身体への危険なタックルなどは傷害犯罪行為、でレッドで本人退場はもちろん、ポイント付与（ボクシングで実施）、監督・コーチも退場（暴対法みたいに）、ひどい場合は没収試合（0-10で負け）など、超・厳罰化する。

≪４≫　かつて長友がインテル時代、ニッポンのおじぎ文化を広めようとひとり奮闘していましたが、ああいうのをＪＦＡ先頭に、フル代表以下各世代、ユースや学校まで浸透させるべきだと思います。

かつて（？）のプロ野球読売巨人軍のように「サッカー人は、スポーツ界の紳士たれ」となってほしいと願う、一初老者でありました。